Je vous préviens tout de suite, ce dm est plus dur que tous les autres qu'on a fait jusqu'à présent... Alors ne vous y mettez pas la veille de la rentrée! Mais pour qu'il ne vous empêche pas de profiter à fond de vos vacances, voici quelques astuces:
EX N°2 P39 (attention, cet exercice est à question tiroir, c'est-à-dire qu'il faudra sans cesse utiliser les questions précédentes pour avancer)
Partie A
1. a. Ici, aucun piège, l'unité graphique est bien de 1 cm, identifiez chaque affixe en forme algébrique x+iy, et vous obtenez les coordonnées du point qui sont (x;y).
b. Voir la méthode du cours, pas de piège, vous obtenez même des valeurs exactes!
c. Ici, il s'agit (même si cela n'est pas clairement formulé) de trouver l'argument de b et c pour les placer via les cercles de rayon 4 et 6 qui vont vous servir de cercles trigonométriques. N'oubliez pas de trouver et le cosinus et le sinus (car le cosinus seul donne deux possibilités!).
2. Déterminez les longueurs des côtés via les modules des affixes des vecteurs, et normalement, vous trouverez trois fois la même valeur (attention, ce n'est pas un valeur exacte, la conserver sous sa forme précise!).
3. a. Comme d'habitude, écrivez d'abord l'équation de la transformation, puis remplacez dans la formule z' par zq et z par zc.
b. Bon, l'égalité, aucun problème. La déduction n'est pas plus compliquée, il suffit de se rappeler que l'affixe d'un vecteur correspond à ses coordonnées. Si besoin, revoyez la définition des vecteurs colinéaires.
4. a. Concourantes en O signifie simplement qu'elles sont sécantes en O, et donc que chaque droite passe par le point O. On vous a demandé un alignement à la question précédente, poursuivez selon cette idée.
b. De même que pour le triangle équilatéral, utilisez les modules des affixes des vecteurs.
Partie B
1. Remplacez O par M dans la formule, et retrouvez les longueurs correspondantes sur votre figure.
2. Toujours la même histoire, modules des affixes des vecteurs, mais cette fois, il s'agit d'exprimer le plus compliqué en fonction du plus simple. Servez-vous à fond des formules de calcul sur les modules.
3. Ha ha... la question sympa... En réalité, elle n'est pas si complexe, juste très tordue. Déjà, c'est quoi cette question d'inégalité triangulaire?! Eh bien, c'est un principe très complexe qui dit que dans un triangle ABC, la somme de deux côtés est plus grande que le troisième côté (sans blague...). Ainsi, AB + AC > BC. Bon, une piste de départ: vous venez de démontrer deux égalités dans la question précédente, servez-vous en dans l'expression de f(M) en remplaçant certaines valeurs. De là, appliquez l'inégalité triangulaire pour obtenir un seul côté d'un triangle. Ce côté devrait vous rappeler la question 4b... Et de là, réfléchissez, c'est logique!
EX N°2 P81
1. a. Remplacez z' par p' affixe de P' et z par p affixe de P, et calculez. On rappelle que:
z(barre) = x-iy. Et n'oubliez pas, pas de i au dénominateur!
b. Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Servez-vous des affixes pour le démontrer.
c. Deux droites sont perpendiculaires ssi il y a un angle droit. Utilisez les bons arguments et l'une des dernières formules de cours entre les angles de vecteurs et les arguments pour le prouver.
2. Il s'agit de résoudre l'équation z' = z. Notez que vous n'avez pas besoin de remplacer z(barre) par son expression algébrique. Regardez juste dans le cours la conséquence de z = z(barre).
3. a. Notez bien qu'on ne vous demande pas la solution, on vous demande juste de prouver qu'elle est réelle! Développez et utilisez les formules des conjugués pour prouver que tous les éléments sont réels.
b. De même que ci-dessus.
c. Utilisez les vecteurs colinéaires, mais à l'aide de l'argument égal à 0, pas à l'aide des coordonnées et des affixes qui ne donnent rien.
4. Ne paniquez pas, cette question n'a rien de compliqué dans la théorie! Bon, dans la pratique, c'est autre chose... Mais on n'y est pas encore! En clair, on vous demande juste de prouver que (AM) est perpendiculaire à (MM'). Autrement dit, que le triangle AMM' est rectangle en M. Vous voyez quel théorème utiliser? Bon, passons au petit souci: les calculs. Parce que vous allez devoir manipuler des modules au carré, et que ça, c'est impossible à exploiter. Il faut donc utiliser la formule:
module de z au carré = z*z(barre). La bonne nouvelle, c'est qu'avec ça, vous pouvez aboutir. La mauvaise, c'est que ça va compliquer vos calculs à mort; donc ne vous étonnez pas si vous trouvez des expressions qui remplissent une ligne entière, c'est normal, et il faut faire avec. Attention aux erreurs de calcul, donc!
5. Utilisez les propriétés que vous venez de démontrer, et si besoin, inspirez-vous du cas particulier des points P et P'. Pas d'indication pour le repère alors faites-le comme vous le sentez!
Et n'oubliez pas le plus important...
Joyeux Noël!!!
EX N°2 P39 (attention, cet exercice est à question tiroir, c'est-à-dire qu'il faudra sans cesse utiliser les questions précédentes pour avancer)
Partie A
1. a. Ici, aucun piège, l'unité graphique est bien de 1 cm, identifiez chaque affixe en forme algébrique x+iy, et vous obtenez les coordonnées du point qui sont (x;y).
b. Voir la méthode du cours, pas de piège, vous obtenez même des valeurs exactes!
c. Ici, il s'agit (même si cela n'est pas clairement formulé) de trouver l'argument de b et c pour les placer via les cercles de rayon 4 et 6 qui vont vous servir de cercles trigonométriques. N'oubliez pas de trouver et le cosinus et le sinus (car le cosinus seul donne deux possibilités!).
2. Déterminez les longueurs des côtés via les modules des affixes des vecteurs, et normalement, vous trouverez trois fois la même valeur (attention, ce n'est pas un valeur exacte, la conserver sous sa forme précise!).
3. a. Comme d'habitude, écrivez d'abord l'équation de la transformation, puis remplacez dans la formule z' par zq et z par zc.
b. Bon, l'égalité, aucun problème. La déduction n'est pas plus compliquée, il suffit de se rappeler que l'affixe d'un vecteur correspond à ses coordonnées. Si besoin, revoyez la définition des vecteurs colinéaires.
4. a. Concourantes en O signifie simplement qu'elles sont sécantes en O, et donc que chaque droite passe par le point O. On vous a demandé un alignement à la question précédente, poursuivez selon cette idée.
b. De même que pour le triangle équilatéral, utilisez les modules des affixes des vecteurs.
Partie B
1. Remplacez O par M dans la formule, et retrouvez les longueurs correspondantes sur votre figure.
2. Toujours la même histoire, modules des affixes des vecteurs, mais cette fois, il s'agit d'exprimer le plus compliqué en fonction du plus simple. Servez-vous à fond des formules de calcul sur les modules.
3. Ha ha... la question sympa... En réalité, elle n'est pas si complexe, juste très tordue. Déjà, c'est quoi cette question d'inégalité triangulaire?! Eh bien, c'est un principe très complexe qui dit que dans un triangle ABC, la somme de deux côtés est plus grande que le troisième côté (sans blague...). Ainsi, AB + AC > BC. Bon, une piste de départ: vous venez de démontrer deux égalités dans la question précédente, servez-vous en dans l'expression de f(M) en remplaçant certaines valeurs. De là, appliquez l'inégalité triangulaire pour obtenir un seul côté d'un triangle. Ce côté devrait vous rappeler la question 4b... Et de là, réfléchissez, c'est logique!
EX N°2 P81
1. a. Remplacez z' par p' affixe de P' et z par p affixe de P, et calculez. On rappelle que:
z(barre) = x-iy. Et n'oubliez pas, pas de i au dénominateur!
b. Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Servez-vous des affixes pour le démontrer.
c. Deux droites sont perpendiculaires ssi il y a un angle droit. Utilisez les bons arguments et l'une des dernières formules de cours entre les angles de vecteurs et les arguments pour le prouver.
2. Il s'agit de résoudre l'équation z' = z. Notez que vous n'avez pas besoin de remplacer z(barre) par son expression algébrique. Regardez juste dans le cours la conséquence de z = z(barre).
3. a. Notez bien qu'on ne vous demande pas la solution, on vous demande juste de prouver qu'elle est réelle! Développez et utilisez les formules des conjugués pour prouver que tous les éléments sont réels.
b. De même que ci-dessus.
c. Utilisez les vecteurs colinéaires, mais à l'aide de l'argument égal à 0, pas à l'aide des coordonnées et des affixes qui ne donnent rien.
4. Ne paniquez pas, cette question n'a rien de compliqué dans la théorie! Bon, dans la pratique, c'est autre chose... Mais on n'y est pas encore! En clair, on vous demande juste de prouver que (AM) est perpendiculaire à (MM'). Autrement dit, que le triangle AMM' est rectangle en M. Vous voyez quel théorème utiliser? Bon, passons au petit souci: les calculs. Parce que vous allez devoir manipuler des modules au carré, et que ça, c'est impossible à exploiter. Il faut donc utiliser la formule:
module de z au carré = z*z(barre). La bonne nouvelle, c'est qu'avec ça, vous pouvez aboutir. La mauvaise, c'est que ça va compliquer vos calculs à mort; donc ne vous étonnez pas si vous trouvez des expressions qui remplissent une ligne entière, c'est normal, et il faut faire avec. Attention aux erreurs de calcul, donc!
5. Utilisez les propriétés que vous venez de démontrer, et si besoin, inspirez-vous du cas particulier des points P et P'. Pas d'indication pour le repère alors faites-le comme vous le sentez!
Et n'oubliez pas le plus important...
Joyeux Noël!!! 
