Mais c'est que la section maths commence à être bien remplie! On sent qu'on est en S... 
Ce dm comprend deux exercices, et comme vous l'avez surement remarqué, ils ne sont pas dans l'ordre! A vous de décider dans quel sens attaquer; notez néanmoins que l'exercice 1 est plus simple et moins long. Je commencerai donc les astuces par celui-ci.
Exercice 1
1. Commencez par z satisfait les conditions et remplacez z par 1/y. On rappelle que:
(1/u)' = -u'/u². Transformez jusqu'à retomber sur vos pattes, et ce avec des équivalences tout du long.
2. a. Appliquer le théorème du cours pour trouver les fonctions solutions de l'équa. diff. avec z, puis servez-vous de z(0)=100 pour déterminer la fonction z. Comme y=1/z, trouvez l'expression de y.
b. Calculez y(30) et trouvez l'arrondi à la calculette (ne vous inquiétez pas, il n'y a aucun doute sur l'entier le plus proche, vous ne tomberez pas sur un 3,5 gênant). N'oubliez pas qu'il s'agit d'un pourcentage dans votre réponse!
Exercice 2
1. Transformez l'expression de (E) et appliquez le théorème du cours.
2. a. Les choses sérieuses commencent! Comme f doit être solution de (E'), vous savez que:
2f'+ f = e(-x/2)*(x+1). Exprimez f et f' en fonction de m et p, et servez-vous de (E') pour raisonner par identification.
b. Partez de g-f solution de (E) et transformez. Regroupez vos termes en fonction de ce que vous voulez obtenir (en l'occurrence un truc qui ressemble à (E')) et servez-vous de ce que vous avez démontré à la question précédente.
Comme vous connaissez h solution de (E) (question 1.), vous devinez aisément g en sachant que g-f = h.
3. Dérivez et calculez le signe. Pas besoin d'une fonction auxiliaire, vous devez tomber sur un polynôme du second degré que vous savez étudier. Concluez avec des phrases!
4. Pour la limite en - l'infini, seul x²+2x pose problème: mettez le terme qui l'emporte en facteur et déterminez alors sa limite.
Pour la limite en + l'infini, ça se corse, et pas qu'un peu: développez l'expression et exprimez-la en fonction de x/2 pour le 1er terme et -x/2 pour le second. Il s'agit d'utiliser la croissance comparée quand x/2 tend vers + l'infini pour le 1er terme, et quand -x/2 tend vers - l'infini dans le second. N'hésitez pas à regarder dans le cours les expressions de théorème qui vont vous aider!
5. a. Pour étudier les positions relatives de 2 droites, on fait la différence de leurs équations et on en étudie le signe. Vous devez donc trouver le signe de h(x) - e(-x/2). Là encore, vous tombez sur un polynôme du second degré.
b. Pas d'indication particulière, hormis le fait que votre repère doit être orthonormé, c'est-à-dire qu'il doit y avoir la même échelle en abscisse et en ordonnée. A vous de choisir ensuite une échelle judicieuse pour tout représenter!
Ce dm comprend deux exercices, et comme vous l'avez surement remarqué, ils ne sont pas dans l'ordre! A vous de décider dans quel sens attaquer; notez néanmoins que l'exercice 1 est plus simple et moins long. Je commencerai donc les astuces par celui-ci.
Exercice 1
1. Commencez par z satisfait les conditions et remplacez z par 1/y. On rappelle que:
(1/u)' = -u'/u². Transformez jusqu'à retomber sur vos pattes, et ce avec des équivalences tout du long.
2. a. Appliquer le théorème du cours pour trouver les fonctions solutions de l'équa. diff. avec z, puis servez-vous de z(0)=100 pour déterminer la fonction z. Comme y=1/z, trouvez l'expression de y.
b. Calculez y(30) et trouvez l'arrondi à la calculette (ne vous inquiétez pas, il n'y a aucun doute sur l'entier le plus proche, vous ne tomberez pas sur un 3,5 gênant). N'oubliez pas qu'il s'agit d'un pourcentage dans votre réponse!
Exercice 2
1. Transformez l'expression de (E) et appliquez le théorème du cours.
2. a. Les choses sérieuses commencent! Comme f doit être solution de (E'), vous savez que:
2f'+ f = e(-x/2)*(x+1). Exprimez f et f' en fonction de m et p, et servez-vous de (E') pour raisonner par identification.
b. Partez de g-f solution de (E) et transformez. Regroupez vos termes en fonction de ce que vous voulez obtenir (en l'occurrence un truc qui ressemble à (E')) et servez-vous de ce que vous avez démontré à la question précédente.
Comme vous connaissez h solution de (E) (question 1.), vous devinez aisément g en sachant que g-f = h.
3. Dérivez et calculez le signe. Pas besoin d'une fonction auxiliaire, vous devez tomber sur un polynôme du second degré que vous savez étudier. Concluez avec des phrases!
4. Pour la limite en - l'infini, seul x²+2x pose problème: mettez le terme qui l'emporte en facteur et déterminez alors sa limite.
Pour la limite en + l'infini, ça se corse, et pas qu'un peu: développez l'expression et exprimez-la en fonction de x/2 pour le 1er terme et -x/2 pour le second. Il s'agit d'utiliser la croissance comparée quand x/2 tend vers + l'infini pour le 1er terme, et quand -x/2 tend vers - l'infini dans le second. N'hésitez pas à regarder dans le cours les expressions de théorème qui vont vous aider!
5. a. Pour étudier les positions relatives de 2 droites, on fait la différence de leurs équations et on en étudie le signe. Vous devez donc trouver le signe de h(x) - e(-x/2). Là encore, vous tombez sur un polynôme du second degré.
b. Pas d'indication particulière, hormis le fait que votre repère doit être orthonormé, c'est-à-dire qu'il doit y avoir la même échelle en abscisse et en ordonnée. A vous de choisir ensuite une échelle judicieuse pour tout représenter!
