Ne vous inquiétez pas: si après deux heures de brainstorming intense vous n'êtes toujours pas venu à bout de ce dm, c'est que vous êtes quelqu'un de normalement constitué (dixit celle qui vient d'y passer pas loin de quatre heures... 
).
En revanche, si vous n'avez toujours pas commencé, inquiétez-vous sérieusement: si la première partie se fait en une heure au plus, la dernière question vous laissera sur les rotules! Alors au boulot!! (nan, nan, je ne vise personne en particulier...
)
1. Profitez, ça, c'est la partie agréable...
2. L'hérédité demande un peu de réflexion. A noter que vous pouvez faire la récurrence sur k>2 puisque vous savez que ça marche pour k=1 et k=2. Et puis aussi parce qu'alors, pk et pk+1 sont impairs... A vous d'en tirer une conclusion!
3. a. Démonstration à faire de préférence par l'absurde, en vous basant sur la démonstration qu'on a faite en cours sur l'infinité des nombres premiers (c'est la même technique pour une conclusion différente).
b. Pas de calcul ici, juste de la logique: reformulez les hypothèses précédentes (c'est-à-dire q divise p1p2...pk+1 et q différent de pi), mais sous forme d'inégalités. Si l'inspiration ne vient pas, repensez à la relation d'ordre entre un dividende et son diviseur...
4. Alors, alors! Je préfère vous prévenir tout de suite, vous allez en baver.
L'inégalité ne se trouve qu'après pas mal d'étapes intermédiaires (vous savez, le fameux a<b et b<c <=> a<c, et bah vous allez tout le temps l'utiliser!). Pour vous aider, je vous donne des indices pour les premières de chaque côté. Déjà, sachez que 2^2^(k+1)=(2^2^k)*(2^2^k). Ajoutez l'hypothèse de récurrence, et vous avez un premier maillon de la chaîne. Ensuite, si pk<2^2^k, ça signifie que p1<2^2^1, que p2<2^2^2, etc jusqu'à pk. Maintenant, regardez l'hypothèse de la question 3b, et vous trouverez un deuxième maillon de la chaîne. Après, le tout est de joindre les deux bouts au sens propre du terme. Il risque d'y avoir un peu de somme de suites entre temps, mais rien ne vous effraie, pas vrai?
Ceci est une méthode longue et tordue, mais n'oubliez pas que la question 3 n'est pas là pour faire jolie, elle est là pour qu'on s'en serve!!
Je précise aussi pour tous les flemmards qui voudraient passer simplement par (pk)²>pk+1 que cette hypothèse est fausse: regardez l'encadré dans le bouquin, on vous dit que les nombres premiers se raréfient; donc, plus k est grand, plus pk et pk+1 sont éloignés; en termes mathématiques:
lim (k->+ infini) pk+1 - pk = + infini.
Donc il existe forcément un k tel que (pk)²<pk+1.
Si quelqu'un trouve une autre solution, je suis ouverte aux suggestions, mais j'ai bien peur qu'il n'y en ait pas beaucoup d'autres... Alors good luck!
).En revanche, si vous n'avez toujours pas commencé, inquiétez-vous sérieusement: si la première partie se fait en une heure au plus, la dernière question vous laissera sur les rotules! Alors au boulot!! (nan, nan, je ne vise personne en particulier...
) 1. Profitez, ça, c'est la partie agréable...
2. L'hérédité demande un peu de réflexion. A noter que vous pouvez faire la récurrence sur k>2 puisque vous savez que ça marche pour k=1 et k=2. Et puis aussi parce qu'alors, pk et pk+1 sont impairs... A vous d'en tirer une conclusion!
3. a. Démonstration à faire de préférence par l'absurde, en vous basant sur la démonstration qu'on a faite en cours sur l'infinité des nombres premiers (c'est la même technique pour une conclusion différente).
b. Pas de calcul ici, juste de la logique: reformulez les hypothèses précédentes (c'est-à-dire q divise p1p2...pk+1 et q différent de pi), mais sous forme d'inégalités. Si l'inspiration ne vient pas, repensez à la relation d'ordre entre un dividende et son diviseur...
4. Alors, alors! Je préfère vous prévenir tout de suite, vous allez en baver.
L'inégalité ne se trouve qu'après pas mal d'étapes intermédiaires (vous savez, le fameux a<b et b<c <=> a<c, et bah vous allez tout le temps l'utiliser!). Pour vous aider, je vous donne des indices pour les premières de chaque côté. Déjà, sachez que 2^2^(k+1)=(2^2^k)*(2^2^k). Ajoutez l'hypothèse de récurrence, et vous avez un premier maillon de la chaîne. Ensuite, si pk<2^2^k, ça signifie que p1<2^2^1, que p2<2^2^2, etc jusqu'à pk. Maintenant, regardez l'hypothèse de la question 3b, et vous trouverez un deuxième maillon de la chaîne. Après, le tout est de joindre les deux bouts au sens propre du terme. Il risque d'y avoir un peu de somme de suites entre temps, mais rien ne vous effraie, pas vrai?Ceci est une méthode longue et tordue, mais n'oubliez pas que la question 3 n'est pas là pour faire jolie, elle est là pour qu'on s'en serve!!
Je précise aussi pour tous les flemmards qui voudraient passer simplement par (pk)²>pk+1 que cette hypothèse est fausse: regardez l'encadré dans le bouquin, on vous dit que les nombres premiers se raréfient; donc, plus k est grand, plus pk et pk+1 sont éloignés; en termes mathématiques:
lim (k->+ infini) pk+1 - pk = + infini.
Donc il existe forcément un k tel que (pk)²<pk+1.
Si quelqu'un trouve une autre solution, je suis ouverte aux suggestions, mais j'ai bien peur qu'il n'y en ait pas beaucoup d'autres... Alors good luck!
