Titre assez inhabituel pour un post... mais il semblerait que les TS6 aient le même sujet de DM que notre classe. Alors exceptionnellement, je leur dédie aussi ce message. Puissent-ils trouver un peu d'aide! Mais qu'ils s'assurent d'abord que c'est bien le même énoncé; ici:
z1 = racine de 2 + i*racine de 6
z2 = 2 + 2i
Z = z1/z2
1. Application du cours, on exprime Z en fonction des formes algébriques de z1 et z2, et on se sert du conjugué pour faire disparaître les i au dénominateur. Il s'agit ensuite de regrouper les termes réels et imaginaires (comme d'hab', quoi).
2. Déterminez d'abord les modules de z1 et z2, le module de Z en découle tout seul. De même pour les arguments; il faut juste considérer que arg(Z) = arg(z1/z2) et appliquer les formules du cours.
3. A l'aide de la question précédente et des formules reliant formes algébrique et trigonométrique, trouvez une relation entre cos pi/12 et les données que vous possédez déjà (forme algébrique de Z dans la question 1., modules et arguments dans la question 2.).
4. Servez-vous des coordonnées polaires: vous connaissez les distances OA, OB, OZ, et les angles entre le vecteur u et les vecteurs OA, OB, OZ. Un cercle trigonométrique vous sera également bien utile.
5. Ah la bonne blague... mais ne paniquez pas, ce n'est pas aussi tordu que ça en a l'air. Bon, déjà, il est évident qu'on ne peut pas obtenir la forme algébrique de manière directe (ce serait trop simple) sans se taper des puissances 2007 très encombrantes. Il faut donc passer par la forme trigonométrique. Et là, il s'agit d'appliquer les formules liant les arguments et les modules aux puissances: vous avez Z, vous pouvez facilement obtenir module Z^2007 et arg(Z^2007) (exprimez 2007 en fonction de 24 pour obtenir des 2pi et appliquer le modulo, cf le cours de Cauchois sur la trigo pour les ex 1S3). De là, vous passez de la forme trigonométrique à la forme algébrique, et le tour est joué!
Voilà! Ceci est une première astuce rédigée un peu à la va-vite et susceptible de modifications ultérieures. Donc n'hésitez pas à poser des questions si quelque chose ne vous semble pas clair, je suis là pour répondre!
z1 = racine de 2 + i*racine de 6
z2 = 2 + 2i
Z = z1/z2
1. Application du cours, on exprime Z en fonction des formes algébriques de z1 et z2, et on se sert du conjugué pour faire disparaître les i au dénominateur. Il s'agit ensuite de regrouper les termes réels et imaginaires (comme d'hab', quoi).
2. Déterminez d'abord les modules de z1 et z2, le module de Z en découle tout seul. De même pour les arguments; il faut juste considérer que arg(Z) = arg(z1/z2) et appliquer les formules du cours.
3. A l'aide de la question précédente et des formules reliant formes algébrique et trigonométrique, trouvez une relation entre cos pi/12 et les données que vous possédez déjà (forme algébrique de Z dans la question 1., modules et arguments dans la question 2.).
4. Servez-vous des coordonnées polaires: vous connaissez les distances OA, OB, OZ, et les angles entre le vecteur u et les vecteurs OA, OB, OZ. Un cercle trigonométrique vous sera également bien utile.
5. Ah la bonne blague... mais ne paniquez pas, ce n'est pas aussi tordu que ça en a l'air. Bon, déjà, il est évident qu'on ne peut pas obtenir la forme algébrique de manière directe (ce serait trop simple) sans se taper des puissances 2007 très encombrantes. Il faut donc passer par la forme trigonométrique. Et là, il s'agit d'appliquer les formules liant les arguments et les modules aux puissances: vous avez Z, vous pouvez facilement obtenir module Z^2007 et arg(Z^2007) (exprimez 2007 en fonction de 24 pour obtenir des 2pi et appliquer le modulo, cf le cours de Cauchois sur la trigo pour les ex 1S3). De là, vous passez de la forme trigonométrique à la forme algébrique, et le tour est joué!
Voilà! Ceci est une première astuce rédigée un peu à la va-vite et susceptible de modifications ultérieures. Donc n'hésitez pas à poser des questions si quelque chose ne vous semble pas clair, je suis là pour répondre!
